Question

已知函数．
（Ⅰ）若a=-1，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若∃x＞0，使f（x）≤0成立，求a的取值范围．

Answer

（Ⅰ）先求出其导函数，让其大于0求出增区间，小于0求出减区间即可；
（Ⅱ）先由a＞0得f（x）的值域为R；a=0，＞0满足要求；再对a＜0时，求出其导函数，利用导函数研究出其极小值，与0相比即可求得结论．
【解析】
（Ⅰ）当a=-1时，，（1分）
令，解得x＞1，所以f（x）的单调增区间为（1，+∞）；（3分）
，解得0＜x＜1，所以f（x）的单调减区间为（0，1）..（4分）
（Ⅱ）当a＞0，由对数函数性质，f（x）的值域为R；（5分）
当a=0，＞0，所以对∀x＞0，f（x）＞0恒成立；（6分）
当a＜0，由．令f′（x）=0，∴
列表：

x
f′（x） _ +
f（x） 减函数 极小值 增函数

（8分）
这是．（10分）
∵∃x＞0，使f（x）≤0成立，∴，∴a≤-e，
∴a范围为（-∞，-e]∪（0，+∞）．（12分）