Question

设函数f（x）=e^x（sinx-cosx），若0≤x≤2011π，则函数f（x）的各极大值之和为    ．

Answer

先求出其导函数，利用导函数得到其单调区间以及其极大值点，进而求出其极大值；再利用等比数列的求和公式求出函数f（x）的各极大值之和即可．
【解析】
因为函数f（x）=ex（sinx-cosx），
所以：f'（x）=[ex（sinx-cosx）]'=ex（sinx-cosx）+ex（cosx+sinx）=2exsinx．
f'（x）=0⇒x=kπ，
当2kπ≤x≤2kπ+π时，f'（x）＞0，原函数递增
当2kπ+π＜x≤2kπ+2π时，f'（x）＜0，原函数递减．
∴x=2kπ+π时，函数f（x）取极大值此时f（2kπ+π）=e2kπ+π[sin（2kπ+π）-cos（2kπ+π）]=e2kπ+π．
又∵0≤x≤2011π
∴函数f（x）的各极大值之和为：eπ+e3π+e5π+…+e2011π==．
故答案为：．