Question

如图，△ABC内接于圆⊙，点D是圆⊙上异于A、B、C三点的任意一点，过D点作DP⊥AB，DQ⊥BC，DR⊥AC，交AB、BC、AC分别为P，Q，R．
（1）求证：∠BDP=∠CDR；
（2）求证：P，Q，R三点共线．

Answer

（1）由已知中四边形ABDC为圆内接四边形，根据圆内接四边形性质，我们易得∠DBP=∠DCP，结合已知中DP⊥AB，DR⊥AC，根据等角的余角相等，即可得到答案．
（2）由已知中DP⊥AB，DQ⊥BC，可判断出P、D、Q、B四点共圆，进而根据圆周角定理得到∠PQD=∠PBD，同理可得∠RQC=∠RDC，结合（1）中结论，我们易证明∠PQD+∠RQD=180°，进而得到P、Q、R三点共线．
证明：（1）由已知可得四边形ABDC为圆内接四边形
则∠DBP=∠DCP
又∵DP⊥AB，DR⊥AC，
∴∠BDP=90°-∠DBP，∠CDR=90°-∠DCP；
∴∠BDP=∠CDR；
（2）∵DP⊥AB，DQ⊥BC，
∴P、D、Q、B四点共圆
∴∠PQD=∠PBD
同理可得∠RQC=∠RDC
∵∠PBD+∠RDC=90°
∴∠PQD+∠RQD=90°+∠CQD=180°
故P、Q、R三点共线