Question

已知函数，．
（Ⅰ）当t=8时，求函数y=f（x）-g（x）的单调区间；
（Ⅱ）求证：当t＞0时，f（x）≥g（x）对任意正实数x都成立．

Answer

（I）先对函数y=f（x）-g（x）进行求导，然后令导函数大于0（或小于0）求出x的范围，根据g′（x）＞0求得的区间是单调增区间，g′（x）＜0求得的区间是单调减区间，即可得到答案．
（II）令．利用导数求出fh（x）最小值，从而证得当t＞0时，f（x）≥g（x）对任意正实数x都成立．
【解析】
（Ⅰ）当t=8时，∴y′=x2-4
令y′＞0，得x＜-2或x＞2，令y′＜0，得-2＜x＜2
故所求函数y=f（x）-g（x）的单调递增区间是（-∞，-2）和（2，+∞），
单调递减区间是（-2，2）
（Ⅱ）证明：令
由因为t＞0，由，得
当时，h′（x）＞0；当时，h′（x）＜0
当变化时，y与y′的变化情况如下表：

x
h′（x） - +
h（x） ↘ 极小值 ↗

∴h（x）在（0，+∞）内有唯一的极小值
∴h（x）在（0，+∞）上的最小值
故当t＞0时，f（x）≥g（x）对任意正实数x都成立