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如图,四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC...

如图,四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,PA=AB=BC,E是PC的中点.
(1)求证:CD⊥AE;
(2)求证:PD⊥面ABE;
(3)求二面角A-PD-C的平面角的正弦值.

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(1)由PA⊥底面ABCD,可得 CD⊥PA,又CD⊥AC,故CD⊥面PAC,从而证得CD⊥AE. (2)由等腰三角形的底边中线的性质可得AE⊥PC,由(1)知CD⊥AE,从而AE⊥面PCD,AE⊥PD,再由 AB⊥PD 可得 PD⊥面ABE. (3)过点A作AF⊥PD,由(2)知,AE⊥面PCD,故∠AFE是二面角A-PD-C的一个平面角,用面积法求得AE 和AF,由  求得结果. 【解析】 (1)证明:PA⊥底面ABCD,∴CD⊥PA. 又CD⊥AC,PA∩AC=A,故CD⊥面PAC,AE⊆面PAC,故CD⊥AE. (2)证明:PA=AB=BC,∠ABC=60°,故PA=AC,E是PC的中点,故AE⊥PC, 由(1)知CD⊥AE,从而AE⊥面PCD,故AE⊥PD.易知BA⊥PD,故PD⊥面ABE. (3)过点A作AF⊥PD,垂足为F,连接EF. 由(2)知,AE⊥面PCD,故∠AFE是二面角A-PD-C的一个平面角. 设AC=a,则,,, 从而,故 .
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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