Question

函数y=f（x）是定义在R上的增函数，函数y=f（x-2010）的图象关于点（2010，0）对称．若实数x，y满足不等式f（x²-6x）+f（y²-8y+24）＜0，则x²+y²的取值范围是    ．

Answer

首先依题意判断函数的奇偶性．然后根据单调性及f（x2-6x）+f（y2-8y+24）＜0，得出新的关系式x2-6x＜-y2+8y-24，转换成圆的方程，把不等式转换成点到原点的距离．得出答案．
【解析】
∵y=f（x-2010）的图象是y=f（x）的图象向右平移了2010个单位，又y=f（x-2010）的图象关于点（2010，0）对称．
∴y=f（x）关于点（0，0）对称，即y=f（x）是递增的奇函数．
∴f（x2-6x）+f（y2-8y+24）＜0，即f（x2-6x）＜f（-y2+8y-24）．
∴x2-6x＜-y2+8y-24化简得：（x-3）2+（y-4）2＜1．
∴点（x，y）在以（3，4）为圆心，半径为1的圆内．而x2+y2就是点（x，y）到原点的距离的平方．
作图易知：42＜x2+y2＜62，即16＜x2+y2＜36．
故答案为：（16，36）