Question

对于函数f₁（x），f₂（x），h（x），如果存在实数a，b使得h（x）=a•f₁（x）+b•f₂（x），那么称h（x）为f₁（x），f₂（x）的生成函数．
（Ⅰ）下面给出两组函数，h（x）是否分别为f₁（x），f₂（x）的生成函数？并说明理由；
第一组：；
第二组：f₁（x）=x²-x，f₂（x）=x²+x+1，h（x）=x²-x+1；
（Ⅱ）设，生成函数h（x）．若不等式3h²（x）+2h（x）+t＜0在x∈[2，4]上有解，求实数t的取值范围；
（Ⅲ）设，取a=1，b＞0，生成函数h（x）使h（x）≥b恒成立，求b的取值范围．

Answer

（Ⅰ）化简h（x）=a•f1（x）+b•f2（x），使得与相同，求出a，b判断结果满足题意；类似方法计算判断第二组．
（Ⅱ）设，生成函数．化简不等式3h2（x）+2h（x）+t＜0，在x∈[2，4]上有解，就是求t＜-3h2（x）-2h（x）=-3log22x-2log2x的最小值，即可．
（Ⅲ）设，取a=1，b＞0，生成函数
使恒成立，分类讨论，求出b的取值范围．
【解析】
（Ⅰ）①设，即，
取，所以h（x）是f1（x），f2（x）的生成函数．（2分）
②设a（x2+x）+b（x2+x+1）=x2-x+1，即（a+b）x2+（a+b）x+b=x2-x+1，
则，该方程组无解．
所以h（x）不是f1（x），f2（x）的生成函数．（4分）

（Ⅱ）（5分）
若不等式3h2（x）+2h（x）+t＜0在x∈[2，4]上有解，
3h2（x）+2h（x）+t＜0，即t＜-3h2（x）-2h（x）=-3log22x-2log2x（7分）
设s=log2x，则s∈[1，2]，y=-3log22x-2log2x=-3s2-2s，（9分）
ymax=-5，故，t＜-5．（10分）

（Ⅲ）由题意，得
1°若，则h（x）在上递减，在上递增，
则，
所以，得1≤b≤4（12分）
2°若，则h（x）在[1，10]上递增，则hmin=h（1）=1+b，
所以，得0＜b≤1．（14分）
3°若，则h（x）在[1，10]上递减，则，故，无解
综上可知，0＜b≤4．（16分）