定义:F(x,y)=xy+lnx,x∈(0,+∞),y∈R,f(x)=
(其中a≠0).
(1)求 f(x) 的单调区间;
(2)若
恒成立,试求实数a的取值范围;
(3)记f′(x)为f(x)的导数,当a=1时,对任意的n∈N
*,在区间[1,f′(n)]上总存在k个正数a
1,a
2,a
3,…,a
4,使
成立,试求k的最小值.
考点分析:
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已知函数
,其中a>0且a≠1.
(1)分别判断f(x)在(-∞,+∞)上的单调性;
(2)比较f(1)-1与f(2)-2、f(2)-2与f(3)-3的大小,由此归纳出一个更一般的结论,并证明;
(3)比较
与
、
与
的大小,由此归纳出一个更一般的结论,并证明.
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在R上定义运算:
(b、c∈R是常数),已知f
1(x)=x
2-2c,f
2(x)=x-2b,f(x)=f
1(x)f
2(x).
①如果函数f(x)在x=1处有极值
,试确定b、c的值;
②求曲线y=f(x)上斜率为c的切线与该曲线的公共点;
③记g(x)=|f′(x)|(-1≤x≤1)的最大值为M,若M≥k对任意的b、c恒成立,试求k的取值范围.(参考公式:x
3-3bx
2+4b
3=(x+b)(x-2b)
2)
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对于函数f
1(x),f
2(x),h(x),如果存在实数a,b使得h(x)=a•f
1(x)+b•f
2(x),那么称h(x)为f
1(x),f
2(x)的生成函数.
(Ⅰ)下面给出两组函数,h(x)是否分别为f
1(x),f
2(x)的生成函数?并说明理由;
第一组:
;
第二组:f
1(x)=x
2-x,f
2(x)=x
2+x+1,h(x)=x
2-x+1;
(Ⅱ)设
,生成函数h(x).若不等式3h
2(x)+2h(x)+t<0在x∈[2,4]上有解,求实数t的取值范围;
(Ⅲ)设
,取a=1,b>0,生成函数h(x)使h(x)≥b恒成立,求b的取值范围.
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已知函数f(x)=alnx-ax-3(a∈R).
(Ⅰ)当a=1时,求函数f(x)的单调区间;
(Ⅱ)若函数y=f(x)的图象在点(2,f(2))处的切线的倾斜角为45°,问:m在什么范围取值时,对于任意的t∈[1,2],函数
在区间(t,3)上总存在极值?
(Ⅲ)当a=2时,设函数
,若在区间[1,e]上至少存在一个x
,使得h(x
)>f(x
)成立,试求实数p的取值范围.
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已知椭圆
的左、右焦点分别为F
1、F
2,短轴两个端点为A、B,且四边形F
1AF
2B是边长为2的正方形.
(1)求椭圆的方程;
(2)若C、D分别是椭圆长的左、右端点,动点M满足MD⊥CD,连接CM,交椭圆于点P.证明:
为定值.
(3)在(2)的条件下,试问x轴上是否存异于点C的定点Q,使得以MP为直径的圆恒过直线DP、MQ的交点,若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
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