Question

设函数，g（x）=xcosx-sinx．
（1）求证：当x∈（0，π]时，g（x）＜0；
（2）存在x∈（0，π]，使得f（x）＜a成立，求a的取值范围；
（3）若g（bx）≤bxcosbx-bsinx（b≥-1）对x∈（0，π]恒成立，求b的取值范围．

Answer

（1）转化求函数g（x）在（0，π]上的最大值，利用函数的导数判断单调性进而求解；
（2）依题意即转化为求函数f（x）在（0，π]上的最小值，利用函数的导数判断单调性进而求解；
（3）先表示出函数g（bx），将恒成立问题转化为函数求最值问题，利用函数的导数判断单调性进而求解，注意b的范围的讨论．
解（1）因为当x∈（0，π]时，g'（x）=cosx-xsinx-cosx=-xsinx≤0，
所以g（x）在（0，π]上单调递减，（3分）
又g（0）=0，所以当x∈（0，π]时，g（x）＜0（4分）
（2）因为，
所以，
由（1）知，当x∈（0，π]时，xcosx-sinx＜0，所以f'（x）＜0（6分）
所以f（x）在（0，π]上单调递减，则当x∈（0，π]时，f（x）min=f（π）=1（8分）
由题意知，f（x）＜a在（0，π]上有解，所以a＞f（x）min，从而a＞1（10分）
（3）由g（bx）≤bxcosbx-bsinx（b≥-1），得sinbx≥bsinx（b≥-1）对x∈（0，π]恒成立，
①当b=-1，0，1时，不等式显然成立（11分）
②当b＞1时，因为bx∈（0，bπ]，所以取，
则有sinbx=0＜bsinx，从而时不等式不恒成立（12分）
③当0＜b＜1时，由（Ⅱ）可知在（0，π]上单调递减，而0＜bx＜x≤π，
∴，
∴sinbx＞bsinx成立（14分）
④当-1＜b＜0时，当x∈（0，π]时，0＜-bx＜x≤π，
则，∴sinbx＜bsinx不成立，
综上所述，当b=-1或0≤b≤1时，有g（bx）≤bxcosbx-bsinx（b≥-1）对x∈（0，π]恒成立．（16分）