Question

一个均匀的正四面体面上分别涂有1、2、3、4四个数字，现随机投掷两次，正四面体面朝下的数字分别为b、c．
（Ⅰ）记z=（b-3）²+（c-3）²，求z=4的概率；
（Ⅱ）若方程x²-bx-c=0至少有一根a∈1，2，3，4，就称该方程为“漂亮方程”，求方程为“漂亮方程”的概率．

Answer

（I）由于我们要将均匀的面上分别涂有1、2、3、4四个数字的正四面体随机投掷两次，故基本事件共有4×4=16个，然后求出z=4时，基本事件的个数，代入古典概型公式即可得到结果．
（II）分类讨论方程根分别为1，2，3，5时，基本事件的个数，然后代入古典概型公式即可得到结果．
【解析】
（Ⅰ）因为是投掷两次，因此基本事件（b，c）共有4×4=16个
当z=4时，（b，c）的所有取值为（1，3）、（3，1）
所以
（Ⅱ）①若方程一根为x=1，则1-b-c=0，即b+c=1，不成立．
②若方程一根为x=2，则4-2b-c=0，即2b+c=4，所以．
③若方程一根为x=3，则9-3b-c=0，即3b+c=9，所以．
④若方程一根为x=4，则16-4b-c=0，即4b+c=16，所以．
综合①②③④知，（b，c）的所有可能取值为（1，2）、（2，3）、（3，4）
所以，“漂亮方程”共有3个，方程为“漂亮方程”的概率为