Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，PA=AB=4，G为PD中点，E点在AB上，平面PEC⊥平面PDC．
（Ⅰ）求证：AG⊥平面PCD；
（Ⅱ）求证：AG∥平面PEC；
（Ⅲ）求点G到平面PEC的距离．

Answer

（Ⅰ）欲证AG⊥平面PCD，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证AG与平面PCD内两相交直线垂直，根据CD⊥AD，CD⊥PA，可证得CD⊥平面PAD，从而CD⊥AG，又PD⊥AG满足线面垂直的判定定理条件；
（Ⅱ）欲证AG∥平面PEC，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证AG与平面PEC内一直线平行，作EF⊥PC于F，根据面面垂直的性质可知EF⊥平面PCD，而AG⊥平面PCD，则EF∥AG，又AG⊄面PEC，EF⊂面PEC，满足定理所需条件；
（Ⅲ）由AG∥平面PEC知A、G两点到平面PEC的距离相等先求出VP-AEC的体积，再根据VP-AEC=VA-PEC建立等式关系，从而求出G点到平面PEC的距离．
【解析】
（Ⅰ）证明：∵CD⊥AD，CD⊥PA
∴CD⊥平面PAD∴CD⊥AG，
又PD⊥AG，∴AG⊥平面PCD（4分）
（Ⅱ）证明：作EF⊥PC于F，因面PEC⊥面PCD
∴EF⊥平面PCD，又由（Ⅰ）知AG⊥平面PCD
∴EF∥AG，又AG⊄面PEC，EF⊂面PEC，
∴AG∥平面PEC（7分）
（Ⅲ）由AG∥平面PEC知A、G两点到平面PEC的距离相等
由（Ⅱ）知A、E、F、G四点共面，又AE∥CD∴AE∥平面PCD
∴AE∥GF，∴四边形AEFG为平行四边形，∴AE=GF（8分）
PA=AB=4，G为PD中点，FGCD
∴FG=2∴AE=FG=2（9分）
∴（10分）
又EF⊥PC，EF=AG=
∴（11分）
又VP-AEC=VA-PEC，∴，即，∴
∴G点到平面PEC的距离为．（13分）