Question

已知函数f（x）=ax³+bx²+cx在x=±1处取得极值，且在x=0处的切线的斜率为-3．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若过点A（2，m）可作曲线y=f（x）的三条切线，求实数m的取值范围．

Answer

（Ⅰ）由函数f（x）=ax3+bx2+cx在x=±1处取得极值，且在x=0处的切线的斜率为-3，求导，可得±1是f′（x）=0的两根，且f′（0）=-3，解方程组即可求得，a，b，c的值，从而求得f（x）的解析式；（Ⅱ）设切点，求切线方程，得到m=-2x3+6x2-6，要求过点A（2，m）可作曲线y=f（x）的三条切线，即求m=-2x3+6x2-6有三个零点，画出函数的草图，即可求得
实数m的取值范围．
【解析】
（Ⅰ）f'（x）=3ax2+2bx+c
依题意
又f'（0）=-3∴c=-3∴a=1∴f（x）=x3-3x
（Ⅱ）设切点为（x，x3-3x），
∵f'（x）=3x2-3∴f'（x）=3x2-3
∴切线方程为y-（x3-3x）=（3x2-3）（x-x）
又切线过点A（2，m）
∴m-（x3-3x）=（3x2-3）（2-x）
∴m=-2x3+6x2-6
令g（x）=-2x3+6x2-6
则g'（x）=-6x2+12x=-6x（x-2）
由g'（x）=0得x=0或x=2g（x）极小值=g（0）=-6，g（x）极大值=g（2）=2
画出草图知，当-6＜m＜2时，m=-2x3+6x2-6有三解，
所以m的取值范围是（-6，2）．