Question

如图，在三棱锥P-ABC中，△PAC和△PBC是边长为的等边三角形，AB=2，O是AB的中点．
（Ⅰ）求证：AB⊥平面POC；
（Ⅱ）求三棱锥P-ABC的体积．

Answer

（Ⅰ）欲证AB⊥平面POC，由题设及图形易得OC⊥AB，PO⊥AB，再由线面垂直的判定定理得出结论即可．
（Ⅱ）欲求三棱锥P-ABC的体积，由（I）的证明知，可将棱锥的体积变为以OA，OB为高，以三角形POC为底的两个棱锥的体积和，由于AB长度已知，求出三角形POC的面积即可．
【解析】
（Ⅰ）证明∵，
又O是AB的中点，AB=2
∴OC⊥AB，PO⊥AB，
又PO∩OC=0
故AB⊥平面POC（6分）
（Ⅱ）∵，
又O是AB的中点，AB=2
∴OC⊥AB，OC=1，同理PO=1．
又，
∴PC2=OC2+PO2=2
∴∠POC=90°，即PO⊥OC
由图形知
（12分）