Question

如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD为一直角梯形，其中BA⊥AD，CD⊥AD，CD=AD=2AB，PA⊥底面ABCD，E是PC的中点．
（I）求证：BE∥平面PAD；
（II）若AB=1，PA=2，求三棱锥E-DBC的体积．

Answer

（I）欲证BE∥平面PAD，而BE⊂平面EBM，可先证平面EBM∥平面APD，取CD的中点M，连接EM、BM，则四边形ABMD为矩形
∴EM∥PD，BM∥AD  BM∩EM=M，满足面面平行的判定；
（II）连接AC、BD、AC与BM交于点O，连接EO，根据线面垂直的判定定理可知EO⊥平面ABCD，然后根据三棱锥的体积的体积公式VE-DBC=S△DBC•EO，求出所求即可．
证明：（I）取CD的中点M，连接EM、BM，则四边形ABMD为矩形
∴EM∥PD，BM∥AD 
又∵BM∩EM=M，
∴平面EBM∥平面APD
而BE⊂平面EBM
∴BE∥平面PAD
（II）连接AC、BD、AC与BM交于点O，连接EO，则EO⊥AC，EO==1
∴EO⊥平面ABCD
∴VE-DBC=S△DBC•EO=×DC•BM•EO=
∴三棱锥E-DBC的体积为