Question

如图，已知双曲线E：的左、右焦点分别为
F₁（-c，0）、F₂（c，0），点A（c，b），B（0，b），O为坐标原点，直线OA与直线F₂B的交点在双曲线E上．
（1）求双曲线E的离心率；
（2）设直线F₁A与双曲线E 交于M、N两点，，，若λ+μ=4，求双曲线E的方程．
（3）在（2）的条件下，过点B的直线与双曲线E相交于不同的两点P、Q，求的取值范围．

Answer

（1）将F2B的中点代入双曲线E的方程可得，由此能导出e．
（2）由e=得，化简方程E为4x2-y2=b2，又直线F1A的方程为，代入双曲线E化简得（20b2-1）y2-20by+4b2=0，由此能得到所求双曲线E的方程．
（3）由B（0，1），设直线BP的方程为y=kx+1，代入双曲线E的方程4x2-y2=1，得（4-k2）x2-2kx-2=0，记P（x1，y1），Q（x2，y2），则，由此能得到的取值范围．
【解析】
（1）将F2B的中点代入双曲线E的方程可得：

则e=．
（2）由e=得，化简方程E为：
4x2-y2=b2
又直线F1A的方程为，即x=，
代入双曲线E化简得：
（20b2-1）y2-20by+4b2=0，
设M（x1，y1），N（x2，y2）
∴
由题意知，，，
则=，
∴b2=1，
即b=1
故所求双曲线E的方程为4x2-y2=1
（3）由（2）知B（0，1），由题意可设直线BP的方程为：
y=kx+1
代入双曲线E的方程4x2-y2=1，化简得：
（4-k2）x2-2kx-2=0，
记P（x1，y1），Q（x2，y2），
则
∴k2＜8
，
令，则
∵0≤k2≤8
∴，
解得或m，
故所求的取值范围为（-．