Question

已知函数f（x）=alnx+．
（1）当a＞0时，求函数f（x）的单调区间和极值；
（2）当a＞0时，若对任意x＞0，均有ax（2-lnx）≤1，求实数a的取值范围；
（3）若a＜0，对任意x₁、x₂∈（0，+∞），且x₁≠x₂，试比较f（）与的大小．

Answer

（1）先确定函数的定义域然后求导数fˊ（x），在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，求出单调区间以及极值．
（2）将变量a分离出来，转化成使对任意x＞0，只须2a≤f（x）min，研究f（x）的最小值即可．
（3）利用作差法比较两个数的大小，f（）-化简整理后判定其符号．
【解析】
由题意x＞0，f′（x）=
（1）当a＞0时，由f′（x）＞0得，解得，
即函数f（x）的单调增区间是；
由f′（x）＜0得＜0，解得，
即函数f（x）的单调减区间是
∴当x=时，函数f（x）有极小值，
极小值为f（）=
（2）当a＞0时，∵对任意x＞0，
均有ax（2-lnx）≤1，即有对任意x＞0，恒成立，
∴对任意x＞0，只须2a≤f（x）min
由（1）可知，函f（x）的极小值，即为最小值，
∴2a≤f（x）min=a-alna，，解得
即a的取值范围为
（3）
∵x1＞0，x2＞0且x1≠x2，a＜0，
∴x1+x2＞2，∴＞1，aln＜0
又，
∴aln+，
∴f（）-＜0，即f（）＜．