Question

已知椭圆的左焦点为F，左、右顶点分别为A、C，上顶点为B．过F、B、C作⊙P，其中圆心P的坐标为（m，n）．
（1）当m+n＞0时，求椭圆离心率的范围；
（2）直线AB与⊙P能否相切？证明你的结论．

Answer

（1）先求F、B、C的坐标，求直线FC、BC的中垂线方程，解出P的坐标，m+n＞0，得到a、b、c关系，求出e的范围．
（2）直线AB与⊙P能相切，则切点为B，求出AB和PB的斜率，如果垂直，斜率之积为-1，判断即可．
【解析】
（1）设F、B、C的坐标分别为（-c，0），（0，b），（1，0），则FC、BC的中垂线分别为 x=，
y-．联列方程组，
解出
∴，
即b-bc+b2-c＞0，即（1+b）（b-c）＞0，
∴b＞c．
从而b2＞c2即有a2＞2c2，
∴．又 e＞0，
∴．
（2）直线AB与⊙P不能相切．由kAB=b，．
如果直线AB与⊙P相切，则  b•=-1．
解出c=0或2，与0＜c＜1矛盾，
所以直线AB与⊙P不能相切．