Question

将n²个数排成n行n列的一个数阵：
a₁₁a₁₂a₁₃…a_1n
a₂₁a₂₂a₂₃…a_2n
a₃₁a₃₂a₃₃…a_3n
…
a_n1a_n2a_n3…a_nn
已知a₁₁=2，a₁₃=a₆₁+1，该数阵第一列的n个数从上到下构成以m为公差的等差数列，每一行的n个数从左到右构成以m为公比的等比数列，其中m为正实数．
（1）求第i行第j列的数a_ij；
（2）求这n²个数的和．

Answer

（1）由题中条件：“a11=2，a13=a61+1”得到方程：2m2=2+5m+1，解之即得m=3或m=-（舍去）．从而即可求得aij．
（2）这n2个数的和为：S=（a11+a12+…+a1n）+（a21+a22+…+a2n）+…+（an1+an2+…+ann）再结合等比数列的求和公式即可解决问题．
【解析】
（1）由a11=2，a13=a61+1得2m2=2+5m+1，
解得m=3或m=-（舍去）．
aij=ai1•3j-1=[2+（i-1）m]3j-1=（3i-1）3j-1．
（2）S=（a11+a12+…+a1n）+（a21+a22+…+a2n）+…+（an1+an2+…+ann）
=++…+
=（3n-1）•=n（3n+1）（3n-1）．