Question

在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC=1，∠BAC=90°，且异面直线A₁B与B₁C₁所成的角等于60°，设AA₁=a．
（1）求a的值；
（2）求平面A₁BC₁与平面B₁BC₁所成的锐二面角的大小．

Answer

（1）将B1C1平移到BC，∠A1BC就是异面直线A1B与B1C1所成的角，在三角形A1BA内建立等式，解之即可；
（2）取A1B的中点E，连接B1E，过E作EF⊥BC1于F，连接B1F，B1E⊥A1B，A1C1⊥B1E，得到∠B1FE就是平面A1BC1与平面B1BC1所成的锐二面角的平面角，在△B1EF中解出此角即可．
【解析】
（1）∵BC∥B1C1，∴∠A1BC就是异面直线A1B与B1C1所成的角，
即∠A1BC=60°，（2分）
连接A1C，又AB=AC，则A1B=A1C∴△A1BC为等边三角形，（4分）
由AB=AC=1，∠BAC=90°，
∴；（6分）
（2）取A1B的中点E，连接B1E，过E作EF⊥BC1于F，
连接B1F，B1E⊥A1B，A1C1⊥B1E⇒B1E⊥平面A1BC1⇒B1E⊥BC1
又EF⊥BC1，所以BC1⊥平面B1EF，即B1F⊥BC1，
所以∠B1FE就是平面A1BC1与平面B1BC1所成的锐二面角的平面角．（8分）
在△B1EF中，∠B1EF=90°，，，∴⇒∠B1FE=60°，（10分）
因此平面A1BC1与平面B1BC1所成的锐二面角的大小为60°．