Question

已知函数f（x）=x-1-（x＞0）及h（x）=x²-1+lnx（x＞0）
（I）判断函数h（x）在（0，+∞）上的单调性，并求出h（1）的值；
（II）求函数f（x）的单调区间及其在定义域上的最小值；
（III）是否存在实数m，n，满足1≤m＜n，使得函数f（x）在[m，n]的值域也有[m，n]？并说明理由．

Answer

（I）先求出其导函数，利用导函数值的正负来判断出其在（0，+∞）上的单调性，把1直接代入即可求出h（1）的值；
（II）先求出函数f（x）的导函数，并利用（I）的结论可得函数f（x）在区间（0，1）上是减函数，在区间（1，+∞）上是增函数，且在1处取最小值；
（III）由（II）的结论知，当满足1≤m＜n，函数f（x）在[m，n]也是增函数，进而得f（m）=m，f（n）=n，转化为函数y=f（x）与直线y=x在[1，+∞）上至少有两个不同的交点，即g（x）=f（x）-x在[1，+∞）上至少有两个不同的零点，下面只需要研究出g（x）在[1，+∞）上有没有两个零点即可得出结论．
【解析】
（Ⅰ）∵h'（x）=2x+，又因为x＞0，所以h'（x）＞0在（0，+∞）上恒成立
即函数h（x）在（0，+∞）上是单调递增，（2分）
且h（1）=0（4分）
（Ⅱ）f'（x）==（x＞0）
由（Ⅰ）函数h（x）=x2-1+lnx在（0，+∞）上是单调递增，且h（1）=0可知：
当0＜x＜1时，h（x）＜0，所以有f'（x）＜0；
当x＞1时，h（x）＞0，所以有f'（x）＞0．（7分）
即函数f（x）在区间（0，1）上是减函数，在区间（1，+∞）上是增函数．（8分）
所以函数f（x）在x=1处取得最小值f（1）=0（9分）
（Ⅲ）不存在（10分）
∵函数f（x）在区间（1，+∞）上是增函数，
∴当满足1≤m＜n，函数f（x）在[m，n]也是增函数．
若函数f（x）在[m，n]的值域也有[m，n]，则有f（m）=m，f（n）=n，
也即函数y=f（x）与直线y=x在[1，+∞）上至少有两个不同的交点，
也即g（x）=f（x）-x在[1，+∞）上至少有两个不同的零点，
又g（x）=f（x）-x在区间[1，e）上是减函数，且g（1）=f（1）-1=-1，
当x∈[e，+∞）为增函数，且g（x）＜0．
∴函数g（x）=f（x）-x在[1，+∞）上没有零点，
所以不存在实数m，n，满足1≤m＜n，使得函数f（x）在[m，n]的值域也有[m，n]．（13分）