Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，且对任意正整数n，点（a_n+1，S_n）在直线2x+y-2=0上．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通公式；
（Ⅱ）若b_n=（n+1）a_n，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer

（I）数列{an}中，前n项和为Sn，点（an+1，Sn）在直线上，则2an+1+Sn-2=0；由递推关系，得，验证=满足关系即得数列{an}的通公式；
（II）由（I）知，，数列{bn}的前n项和Tn：Tn=2×+3×+4×+…+；则∴Tn=2×+3×+4×+…+；作差，得Tn，从而得 Tn．
【解析】
（I）在数列{an}中，前n项和为Sn，且点（an+1，Sn）在直线2x+y-2=0上；
所以，2an+1+Sn-2=0，则，
（*），又∵2a2+s1-2=0，∴a2=，∴=满足关系式（*），
∴数列{an}的通公式为：；
（II）由（I）知，，数列{bn}的前n项和Tn有：
Tn=2×+3×+4×+…+①；
∴Tn=2×+3×+4×+…+②；
①-②，得Tn=2×++++…+-
=1+-=3-；
∴Tn=6-．