Question

已知F（1，0），P是平面上一动点，P到直线l：x=-1上的射影为点N，且满足
（Ⅰ）求点P的轨迹C的方程；
（Ⅱ）过点M（1，2）作曲线C的两条弦MD，ME，且MD，ME所在直线的斜率为k₁，k₂，满足k₁k₂=1，
求证：直线DE过定点，并求出这个定点．

Answer

（1）设曲线C上任意一点P（x，y），又F（1，0），N（-1，y），从而，，由此能得到所求的P点的轨迹C的方程．
（2）由题意可知直线DE的斜率存在且不为零，可设DE的方程为x=my+a，并设D（x1，y1），E（x2，y2）．联立：，代入整理得y2-4my-4a=0，再由韦达定理进行求解．
【解析】
（1）设曲线C上任意一点P（x，y），又F（1，0），N（-1，y），从而，，，
化简得y2=4x，即为所求的P点的轨迹C的对应的方程．
（2）由题意可知直线DE的斜率存在且不为零，可设DE的方程为x=my+a，
并设D（x1，y1），E（x2，y2）．联立：
代入整理得y2-4my-4a=0从而有y1+y2=4m①，y1y2=-4a②
又，又y12=4x1，y22=4x2，∴
Þ=1Þ（y1+2）（y2+2）=16，展开即得y1y2+2（y1+y2）-12=0
将①②代入得-4a+2×4m-12=0，即a=2m-3，得，DE：x=my+2m-3，
即（x+3）=m（y+2），故直线DE经过（-3，-2）这个定点．