Question

已知f（x）是单调减函数，若将方程f（x）=x与f（x）=f^-1（x）的解分别称为函数f（x）的不动点与稳定点．则x是f（x）的不动点”是“x是f（x）的稳定点”的（ ）
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件

Answer

欲判断”x是f（x）的不动点”是“x是f（x）的稳定点”的什么条件，只须从两个方面考虑：一方面：若x是f（x）的不动点，看能不能推出“x是f（x）的稳定点“；另一方面：”x是f（x）的稳定点“能不能推出“x是f（x）的不动点“．
【解析】
一方面：若x是f（x）的不动点，
则f（x）=x，即函数y=f（x）与直线y=x的交点的横坐标为x，
因为原函数与反函数的图象一定要关于直线y=x对称，
故反函数的图象一定要过函数y=f（x）与直线y=x的横坐标为x交点，
即f（x）=f-1（x）的解是x，
故”x是f（x）的不动点⇒“x是f（x）的稳定点“；
另一方面：x是f（x）的稳定点，
即f（x）=f-1（x），即函数y=f（x）与y=f-1（x）的交点的横坐标为x，
因为原函数与反函数的图象的交点不一定在直线y=x上，
故原函数的图象不一定要过函数y=f（x）与反函数的图象的交点，
即x不一定是方程f（x）=f-1（x）的解
故”x是f（x）的稳定点“不能⇒”x是f（x）的不动点“
则x“是f（x）的不动点”是“x是f（x）的稳定点”的“充分不必要条件．
故选B．