Question

如图所示，ABCD是一块边长为7米的正方形铁皮，其中ATN是一半径为6米的扇形，已经被腐蚀不能使用，其余部分完好可利用．工人师傅想在未被腐蚀部分截下一个有边落在BC与CD上的长方形铁皮PQCR，其中P是上一点．设∠TAP=θ，长方形PQCR的面积为S平方米．
（1）求S关于θ的函数解析式；
（2）设sinθ+cosθ=t，求S关于t的表达式以及S的最大值．

Answer

（1）延长RP交AB于E，延长QP交AD于F，由ABCD是正方形，推出S关于θ的函数解析式；
（2）设sinθ+cosθ=t，利用平方关系求出，通过θ的范围求出t的范围，得到S关于t的表达式，利用二次函数的性质求出S的最大值．
【解析】
（1）延长RP交AB于E，延长QP交AD于F，
由ABCD是正方形，PRCQ是矩形，可知PE⊥AB，PF⊥AD，
由∠TAP=θ，可得EP=6cosθ，FP=6sinθ，
∴PR=7-6sinθ，PQ=7-6cosθ，（4分）
∴S=PR•PQ=（7-6sinθ）（7-6cosθ）=49-42（sinθ+cosθ）+36sinθcosθ
故S关于θ的函数解析式为S=49-42（sinθ+cosθ）+36sinθcosθ．（6分）
（2）由sinθ+cosθ=t，可得t2=（sinθ+cosθ）2=1+2sinθcosθ，
即，
∴S=49-42t+18（t2-1）=18t2-42t+31． （9分）
又由，可得，
故，
∴S关于t的表达式为S=18t2-42t+31（）．（11分）
又由，
可知当时，S取最大值，
故S的最大值为．（14分）