Question

已知函数f（x）=2^x+2^-xa（常数a∈R）．
（1）若a=-1，且f（x）=4，求x的值；
（2）若a≤4，求证函数f（x）在[1，+∞）上是增函数；
（3）若存在x∈[0，1]，使得f（2x）＞[f（x）]²成立，求实数a的取值范围．

Answer

（1）将a=-1代入，f（x）=4可得到一个关于x的指数方程，利用换元法可将方程转化为一个二次方程，解方程即可求出答案．
（2）利用定义法（作差法），我们分别取x1，x2∈[1，+∞），且x1＞x2，然后作差比较f（x1）与f（x2）的大小，然后根据单调性的定义，即可判断出函数f（x）在[1，+∞）上是增函数；
（3）由于f（2x）＞[f（x）]2⇔2-2x（a2-a）+2a＜0，利用换元法，我们可将不等式进一步转化为：存在，使得（a2-a）t+2a＜0，构造关于t的函数g（t）=（a2-a）t+2a，我们可得到g（）＜0或g（1）＜0，解关于a的不等式即可得到答案．
【解析】
（1）由a=-1，f（x）=4，可得2x-2-x=4，设2x=t，
则有t-t-1=4，即t2-4t-1=0，解得（2分）
当时，有，可得．
当时，有，此方程无解．
故所求x的值为．（4分）
（2）设x1，x2∈[1，+∞），且x1＞x2，
则
=
=（7分）
由x1＞x2，可得，即
由x1，x2∈[1，+∞），x1＞x2，可得x1+x2＞2，
故，
又a≤4，故，即
所以f（x1）-f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），
故函数f（x）在[1，+∞）上是增函数．（10分）
（3）因为函数f（x）=2x+2-xa，存在x∈[0，1]，
f（2x）＞[f（x）]2⇔22x+2-2x＞22x+2a+2-2xa2⇔2-2x（a2-a）+2a＜0（12分）
设t=2-2x，由x∈[0，1]，可得，
由存在x∈[0，1]使得f（2x）＞[f（x）]2，
可得存在，使得（a2-a）t+2a＜0，（14分）
令g（t）=（a2-a）t+2a＜0，
故有或g（1）=（a2-a）+2a＜0，
可得-7＜a＜0．即所求a的取值范围是（-7，0）．（16分）