Question

已知负数a₁和正数b₁，且对任意的正整数n，当≥0时，有[a_n+1，b_n+1]=[a_n，]；当＜0时，有[a_n+1，b_n+1]=[，b_n]．
（1）求证数列{b_n-a_n}是等比数列；
（2）若a₁=-1，b₁=2，求证a_2n=-2b_2n（n∈N^*）；
（3）是否存在a₁，b₁，使得数列{a_n}为常数数列？请说明理由．

Answer

（1）要证数列{bn-an}是等比数列，只需证明由已知≥0，可得bn+1-an+1=-an=；＜0，bn+1-an+1=bn-=，总有bn+1-an+1=（bn-an），从而可得数列{bn-an}是等比数列
（2）利用数学归纳法：①由a1=-1，b1=2，可得，故有，则有，a2=a1=-1，从而a2=-2b2，可得n=1时，a2n=-2b2n成立．
②假设当n=k时，a2n=-2b2n成立，即a2k=-2b2k，证明n=k+1时命题成立
（3）假设存在a1，b1，使得数列{an}为常数数列，结合（1）可得bn-an=（b1-a1）（）n-1，由假设可得an=a1，
故bn=a1+（b1-a1）（）n-1由an+1=an恒成立，可知≥0，即a1+（b1-a1）（）n≥0恒成立，
即2n≤⇔n≤对任意的正整数n恒成立，求解此时的n的值是否存在
【解析】
（1）当≥0时，bn+1-an+1=-an=；
当＜0，bn+1-an+1=bn-=．
所以，总有bn+1-an+1=（bn-an），
又b1＞0，a1＜0，可得b1-a1＞0，
所以数列{bn-an}是等比数列．（4分）
（2）①由a1=-1，b1=2，可得，
故有，
∴，a2=a1=-1，从而a2=-2b2，
故当n=1时，a2n=-2b2n成立．（6分）
②假设当n=k时，a2n=-2b2n成立，即a2k=-2b2k，
由b2k-a2k=3b2k＞0，可得b2k＞0，，
故有，
∴，（9分）
，
故有
∴，，
故a2（k+1）=-2b2（k+1）
∴当n=k+1时，a2n=-2b2n成立．
综合①②可得对一切正整数n，都有a2n=-2b2n．（12分）
（3）假设存在a1，b1，使得数列{an}为常数数列，
由（1）可得bn-an=（b1-a1）（）n-1，又an=a1，
故bn=a1+（b1-a1）（）n-1，（14分）
由an+1=an恒成立，可知≥0，即a1+（b1-a1）（）n≥0恒成立，
即2n≤对任意的正整数n恒成立，（16分）
又是正数，
故n≤对任意的正整数n恒成立，
因为是常数，
故n≤不可能对任意正整数n恒成立．
故不存在a1，b1，使得数列{an}为常数数列．（18分）