Question

设f（x）与g（x）是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若对任意的x∈[a，b]，都有|f（x）-g（x）|≤1成立，则称f（x）和g（x）在[a，b]上是“亲密函数”，区间[a，b]称为“亲密区间”．若f（x）=x²+x+2与g（x）=2x+1在[a，b]上是“亲密函数”，则其“亲密区间”可以是（ ）
A．[0，2]
B．[0，1]
C．[1，2]
D．[-1，0]

Answer

根据“亲密函数”的定义列出绝对值不等式|x2+x+2-（2x+1）|≤1，求出解集即可得到它的“亲密区间”．
【解析】
因为f（x）与g（x）在[a，b]上是“亲密函数”，
则|f（x）-g（x）|≤1即|x2+x+2-（2x+1）|≤1即|x2-x+1|≤1，
化简得-1≤x2-x+1≤1，因为x2-x+1的△＜0即与x轴没有交点，由开口向上得到x2-x+1＞0＞-1恒成立；
所以由x2-x+1≤1解得0≤x≤1，所以它的“亲密区间”是[0，1]
故选B