Question

如图，在矩形ABC中，AB=4，AD=，E为AB的中点，现将△ADE沿直线DE翻折成△A′DE，使A′在平面BCDE的射影在DE上，F为线段A′D的中点．
（Ⅰ）求证：EF∥平面A′BC；
（Ⅱ）求直线A'C与平面A′DE所成角的正切值．

Answer

（I）由F为线段A′D的中点．考虑取A′C的中点M，FM∥EB，FM=EB，从而有四边形EBMF为平行四边形，故有EF∥MB，根据线面平行的判定定理可证
（II）过C作CO⊥DE，连接A′O，由A′在平面BCDE的射影在DE上，可得平面A′DE⊥平面BCDE，从而有CO⊥平面A′DE
则∠CA'O就是直线A′B与平面A′DE所成的角，再由E为AB中点，可得CE⊥DE，由平面A′DE⊥平面BCDE，可得O与E重合，而
tan可求
【解析】
（I）证明：取A′C的中点M，连接MF，MB，则MF∥DC，
且FM=DC，又EB∥DC，且EB=DC，从而有
FM∥EB，FM=EB所以四边形EBMF为平行四边形，
故有EF∥MB，（4分）
又EF⊈平面A′BC，MB⊂平面A′BC，，
所以EF∥平面A′BC，．（6分）
（II）过C作CO⊥DE，O为垂足，连接A′O，
因为A′在平面BCDE的射影在DE上，所以平面A′DE⊥平面BCDE，
且平面A′DE∩平面BCDE=DE，所以CO⊥平面A′DE
所以∠CA'O就是直线A′B与平面A′DE所成的角．（10分）
因为E为AB中点，∴CE⊥DE
因为平面A′DE⊥平面BCDE，且面A′DE∩平面BCDE=DE，
所以O与E重合
因为
所以tan∠，
故直线A'C与平面A′DE所成角的正切值．（14分）