Question

如图已知点P在圆柱OO₁的底面圆周上，AB为圆O的直径，
（1）求证：BP⊥A₁P；
（2）若圆柱的体积为12π，OA=2，∠AOP=120°，求异面直线A₁B与AP所成角大小．

Answer

（1）根据圆柱的几何特征及圆周角定理，我们易根据已知中点P在圆柱OO1的底面圆周上，AB为圆O的直径，得到AP⊥BP，AA1⊥BP，结合线面垂直的判定定理得到BP⊥平面PAA1后，易进一步得到BP⊥A1P；
（2）延长PO交圆O于点Q，连接BQ，A1Q，结合圆柱的体积为12π，OA=2，∠AOP=120°，我们易得∠A1BQ即为异面直线A1B与AP所成角，利用余弦定理求出其余弦值，即可得到答案．
【解析】
（1）证明：易知AP⊥BP，又由AA1⊥平面PAB，得AA1⊥BP，（2分）
从而BP⊥平面PAA1，故BP⊥A1P；（5分）
（2）【解析】
延长PO交圆O于点Q，连接BQ，A1Q，则BQ∥AP，得∠A1BQ或它的补角为异面直线A1B与AP所成的角．（7分）
由题意V=π•OA2•AA1=4π•AA1=12π，解得AA1=3．（8分）
又，AQ=2，得，A1B=5，（11分）
由余弦定理得，（13分）
得异面直线A1B与AP所成的角为．（14分）