Question

已知数列{a_n}和{b_n}满足：a₁=λ，a_n+1=，
其中λ为实数，n为正整数．
（1）对任意实数λ，证明：数列{a_n}不是等比数列；
（2）证明：当λ≠18时，数列 {b_n} 是等比数列；
（3）设S_n为数列 {b_n} 的前n项和，是否存在实数λ，使得对任意正整数n，都有S_n＞-12？若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer

（1）假设存在一个实数λ，使{an}是等比数列，由题意知（ ）2=2 ，矛盾．所以{an}不是等比数列．
（2）由题设条件知b1=-（λ+18）≠0．bn≠0，∴，故当λ≠-18，时，数列{bn}是以-（λ+18）为首项，为公比的等比数列．
（3）由题设条件得 ，，由此入手能够推出存在实数λ，使得对任意正整数n，都有Sn＞-12；λ的取值范围为（-∞，-6）．
【解析】
（1）证明：假设存在一个实数λ，使{an}是等比数列，则有a22=a1a3，（2分）
即（）2=2，矛盾．
所以{an}不是等比数列．（4分）
（2）【解析】
因为bn+1=（-1）n+1[an+1-3（n+1）+21]=（-1）n+1（an-2n+14）
=-（-1）n•（an-3n+21）=-bn（7分）
当λ≠-18时，b1=-（λ+18）≠0，由上可知bn≠0，∴（n∈N+）．（8分）
故当λ≠-18时，数列{bn}是以-（λ+18）为首项，-为公比的等比数列（9分）
（3）当λ=-18时，bn=0，从而Sn=0．成立．（10分）
当λ≠-18时，由（Ⅱ）得，于是，（12分）
要使对任意正整数n，都有Sn＞-12．
即．
令
当n为正奇数时，
当n为正偶数时，，∴．（16分）
于是可得．
综上所述，存在实数λ，使得对任意正整数n，都有Sn＞-12；λ的取值范围为（-∞，-6）．（18分）