Question

过点P（1，0）作曲线C：y=x³（x∈（0，+∞））的切线，切点为Q₁，过Q₁作x轴的垂线交x轴于点P₁，又过P₁作曲线C的，切点为Q₂，过Q₂作x轴的垂线交x轴于点P₂，…，依次下去得到一系列点Q₁，Q₂，Q₃，…，设点Q_n的横坐标为a_n．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求和；
（3）求证：．

Answer

（1）由曲线C：y=x3，求导得切线斜率，切点Qn的坐标（an，an3），得切线方程，切线过点Pn-1（an-1，0），代入方程，得关于数列{an}项的关系式，变形得出数列{an}为等差数列，可求数列{an}的通项公式；
（2）把每一项的分子用错位相减法都化为1，然后用等比数列的前n项和求解．
（3）法1，把分解为1+后用二项式定理，取前两项即可；
法2，用数学归纳法：第一步，当n=2时，结论成立；第二步，假设n=k时，结论成立，证明n=k+1时结论也成立．
【解析】
（1）∵y=x3，∴y′=3x2，设Qn的坐标为（an，an3），
则切线方程为y-an3=3an2（x-an），
切点为Q1时，过点P（1，0），
即：0-a13=3a12（1-a1），
依题意a1＞0．所以．（2分）
当n＞1时，切线过点Pn-1（an-1，0），
即：0-an3=3an2（an-1-an），
依题意an＞0，所以．（3分）
所以数列an是首项为，
公比为的等比数列．所以．（4分）
（2）记Sn=+…+，
因为，
所以=+…+．（5分）
两式相减得：
=+…+=+…+
==．（7分）
∴==．（9分）
（3）①证法1：=+…+
．（14分）
②证法2：当n=2时，．（10分）
假设n=k时，结论成立，即，
则．
即n=k+1时．．（13分）
综上，，（n≥2，n∈N*）．（14分）