Question

己知函数f（x）=．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）求函数f（x）的增区间；
（3）是否存在实数m，使不等式＞（x+1）^m在-1＜x＜0时恒成立？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）先根据函数解析式得解之即得函数f（x）的定义域；
（2）在（1）中确定函数的定义域然后求导数fˊ（x），在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0，解得的区间就是单调增区间．
（3）根据已知＞（x+1）m在-1＜x＜0时恒成立等价于恒成立，构造新的函数h（x）=本题所要求的m的取值范围，只需m＞h（x）最大值即可．
【解析】
（1）根据函数解析式得，
解得x＞-1且x≠0．∴函数f（x）的定义域是x|x∈R，x＞-1且x≠0．（3分）
（2）∵，∴（5分）
由f'（x）＞0得ln（x+1）+1＜0．∴-1＜x＜e-1-1．∴函数f（x）的增区间为（-1，e-1-1）．（8分）
（3）∵e-1-1＜x＜0，∴e-1＜x+1＜1．∴-1＜ln（x+1）＜0．∴ln（x+1）+1＞0∴当e-1-1＜x＜0时，．∴在区间（-1，0）上，
当x=e-1-1时，f（x）取得最大值．∴[f（x）]最大=f（e-1-1）=-e．（10分）
∵在-1＜x＜0时恒成立．∴在-1＜x＜0时恒成立．
∴在-1＜x＜0时恒成立．∵在-1＜x＜0时的最大值等于-eln2．
∴m＞-eln2．∴当m＞-eln2时，不等式在-1＜x＜0，时恒成立．（14分）