Question

已知函数f（x）=sinx+cosx，f'（x）是f（x）的导函数．
（I）求：f'（x），及函数y=f'（x）的最小正周期；
（II）求：时，函数F（x）=f（x）f'（x）+f²（x）的值域．

Answer

（I）根据导数公式求出导函数，然后利用两角和公式对函数解析式化简整理，进而用周期公式做出周期；
（II）首先写出函数F（x）并化简，进而根据正弦函数的性质求得函数值域．
【解析】
（I）∵f'（x）=cosx-sinx，
∴f'（x）=cosx-sinx═，
所以y=f'（x）的最小正周期为T=2π
（Ⅱ）F（x）=cos2x-sin2x+1+2sinxcosx=1+sin2x+cos2x=
∵，∴，∴
∴函数F（x）的值域为，