Question

如图，F是椭圆的右焦点，以F为圆心的圆过原点O和椭圆的右顶点，设P是椭圆的动点，P到两焦点距离之和等于
（Ⅰ）求椭圆和圆的标准方程；
（Ⅱ）设直线l的方程为x=4，PM⊥l，垂足为M，是否存在点P，使得△FPM为等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

Answer

（Ⅰ）由已知可得2a=4，a=2c，由此能求出椭圆的标准方程和圆的标准方程．
（Ⅱ）设P（x，y），则由题设知．由|PF|=|PM|，|PF|≠|PM|，知若|PF|=|FM|，则|PF|+|FM|=|PM|这与三角形两边之和大于第三边矛盾，|PF|≠|PM|．若|PM|=|FM|，则（x-4）2=12-x2，由此解得存在两点P（，），P（，-）使得△PFM为等腰三角形．
【解析】
（Ⅰ）由已知可得2a=4，a=2c⇒a=2，c=1，b2=a2-c2=3
∴椭圆的标准方程为，圆的标准方程为（x-1）2+y2=1
（Ⅱ）设P（x，y），则M（4，y），F（1，0）
∵P（x，y）在椭圆上∴⇒y2=．
|PF|2=（x-1）2+y2=（x-1）2+3-x2=（x-4）2
|PM|2=|x-4|2，9+y2=12-x2
∴|PF|=|PM|，|PF|≠|PM|
（1）若|PF|=|FM|则|PF|+|FM|=|PM|这与三角形两边之和大于第三边矛盾
∴|PF|≠|PM|
（2）若|PM|=|FM|，则（x-4）2=12-x2，解得x=4或x=
∵|x|≤2∴x=∴y=±∴P（，±）
综上可得存在两点P（，），P（，-）使得△PFM为等腰三角形．