Question

已知动圆P过点且与直线相切．
（Ⅰ）求点P的轨迹C的方程；
（Ⅱ）过点F作一条直线交轨迹C于A，B两点，轨迹C在A，B两点处的切线相交于点N，M为线段AB的中点，求证：MN⊥x轴．

Answer

（1）因由直线与圆相切知：点P到定直线与到定点的距离相等，结合抛物线的定义即可知点P的轨迹从而求出方程C的方程．
（2）先利用导数求出直线AN，BN的斜率，进而求出直线AN，BN的方程，最后通过解方程求出点M的横坐标，它正好等于M的横坐标，从而解决问题．
【解析】
（Ⅰ）根据抛物线的定义，
可得动圆圆心P的轨迹C的方程为x2=y（4分）
（Ⅱ）证明：设A（x1，x12），B（x2，x22），∵y=x2，
∴y′=2x，∴AN，BN的斜率分别
为2x1，2x2，故AN的方程为y-x12=2x1（x-x1），
BN的方程为y-x22=2x2（x-x2）（7分）
即，两式相减，得，
∴M，N的横坐标相等，于是MN⊥x轴（10分）