Question

如图，已知椭圆的长轴为AB，过点B的直线l与x轴垂直．直线（2-k）x-（1+2k）y+（1+2k）=0（k∈R）所经过的定点恰好是椭圆的一个顶点，且椭圆的离心率．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设P是椭圆上异于A、B的任意一点，PH⊥x轴，H为垂足，延长HP到点Q使得HP=PQ，连接AQ延长交直线l于点M，N为MB的中点．试判断直线QN与以AB为直径的圆O的位置关系．

Answer

（1）将直线方程整理得，解方程组求得直线所经过的定点，进而求得b，进而根据离心率求得a，则椭圆的方程可得．
（2）设P（x，y）代入椭圆方程，进而表示出Q的坐标，求得|OQ|推断出Q点在以O为圆心，2为半径的圆上．根据点A的坐标表示出直线AQ的方程，令x=0，表示出M和N的坐标，代入求得结果为0，进而可推知OQ⊥QN，推断出直线QN与圆O相切．
【解析】
（1）将（2-k）x-（1+2k）y+（1+2k）=0
整理得（-x-2y+2）k+2x-y+1=0
解方程组
得直线所经过的定点（0，1），所以b=1．
由离心率得a=2．
所以椭圆的标准方程为．

（2）设P（x，y），则．
∵HP=PQ，∴Q（x，2y）．∴
∴Q点在以O为圆心，2为半径的圆上．
即Q点在以AB为直径的圆O上．
又A（-2，0），
∴直线AQ的方程为．
令x=2，得．又B（2，0），N为MB的中点，
∴．
∴，．
∴
=x（x-2）+x（2-x）=0．
∴．∴直线QN与圆O相切．