Question

已知直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面是菱形，且∠DAB=60°，AD=AA₁，F为棱BB₁的中点，M为线段AC₁的中点．
（1）求证：直线MF∥平面ABCD；
（2）求证：平面AFC₁⊥平面ACC₁A₁；
（3）求平面AFC₁与平面ABCD所成二面角的大小．

Answer

（1）延长C1F交CB的延长线于点N，由三角形的中位线的性质可得MF∥AN，从而证明MF∥平面ABCD．
（2）由A1A⊥BD，AC⊥BD，可得BD⊥平面ACC1A1，由DANB为平行四边形，故NA∥BD，故NA⊥平面ACC1A1，从而证得平面AFC1⊥ACC1A1．
（3）由AC1⊥NA，NA⊥AC，可得∠C1AC就是平面AFC1与平面ABCD所成二面角的平面角或补角，在Rt△C1AC中，由tan∠CAC1=求出平面AFC1与平面ABCD所成二面角的大小．
证明：（1）延长C1F交CB的延长线于点N，连接AN．因为F是BB1的中点，
所以，F为C1N的中点，B为CN的中点．又M是线段AC1的中点，
故MF∥AN．又MF不在平面ABCD内，AN⊂平面ABCD，∴MF∥平面ABCD．
（2）证明：连BD，由直四棱柱ABCD-A1B1C1D1 ，
可知A1A⊥平面ABCD，又∵BD⊂平面ABCD，∴A1A⊥BD．
∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD．又∵AC∩A1A=A，
AC，A1A⊂平面ACC1A1，∴BD⊥平面ACC1A1．
在四边形DANB中，DA∥BN且DA=BN，所以四边形DANB为平行四边形，
故NA∥BD，∴NA⊥平面ACC1A1，又因为NA⊂平面AFC1，
∴平面AFC1⊥ACC1A1．
（3）由（2）知BD⊥ACC1A1，又AC1⊂ACC1A1，
∴BD⊥AC1，∴BD∥NA，∴AC1⊥NA． 又由BD⊥AC可知NA⊥AC，
∴∠C1AC就是平面AFC1与平面ABCD所成二面角的平面角或补角．
在Rt△C1AC中，tan∠CAC1==，故∠C1AC=30°，
∴平面AFC1与平面ABCD所成二面角的大小为30°或150°．