Question

如图，以椭圆的中心O为圆心，分别以a和b为半径作大圆和小圆．过椭圆右焦点F（c，0）（c＞b）作垂直于x轴的直线交大圆于第一象限内的点A．连接OA交小圆于点B．设直线BF是小圆的切线．
（1）求证c²=ab，并求直线BF与y轴的交点M的坐标；
（2）设直线BF交椭圆于P、Q两点，求证•=b²．

Answer

（1）直接利用Rt△OFA∽Rt△OBF，找到对应边的比值相等即可证明c2=ab，再求出直线OA的斜率，利用OA与直线BF垂直可得直线BF的斜率，进而求出直线BF的方程以及BF与y轴的交点M的坐标；
（2）先把直线BF的方程与椭圆方程联立，求出关于P、Q两点的坐标以及直线BF的斜率之间的等量关系，代入•整理可得结论．（注意整理过程中要细心）
【解析】
（1）由题设条件知，Rt△OFA∽Rt△OBF，
故，即，因此c2=ab．①（2分）
在Rt△OFA中，FA===b
于是，直线OA的斜KOA=．设直线BF的斜率为k，k=-=-．
所以直线BF的方程为：（5分）
直线BF与y轴的交点为．（6分）
（2）由（1），得直线BF得方程为y=kx+a，②
由已知，P（x1，y1），Q（x2，y2），则它们的坐标满足方程③
由方程组③消y，并整理得（b2+a2k2）x2+2a3x2+2a3kx+a4-a2b2=0，④
由式①、②和④，.

综上，得到，（12分）
又因a2-ab+b2=a2-c2+b2=2b2，得
（15分）