Question

已知数列{a_n}的首项为1，前n项和为S_n，且满足a_n+1=3S_n，n∈N^*．数列{b_n}满足b_n=log₄a_n．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）当n≥2时，试比较b₁+b₂+…+b_n与的大小，并说明理由；
（3）试判断：当n∈N^*时，向量=（a_n，b_n）是否可能恰为直线l：的方向向量？请说明你的理由．

Answer

（1）由an+1=3Sn得an+2=3Sn+1两者作差整理得=4，n∈N*，要注意n=1时的情况，
（2）先由（1）求得bn再求b1+b2+…+bn，然后与比较；
（3）由直线l的方向向量为，若向量（an，bn）为该直线的方向向量，则有2bn=an研究．
【解析】
（1）由an+1=3Sn（1），得an+2=3Sn+1（2），由（2）-（1）得
an+2-an+1=3an+1，整理得=4，n∈N*．
所以，数列a2，a3，a4，，an，是以4为公比的等比数列．
其中，a2=3S1=3a1=3，
所以，．
（2）由题意，．
当n≥2时，
b1+b2+b3++bn
=0+（log43+0）+（log43+1）++（log43+n-2）
=
=
=
所以，．
（3）由题意，直线l的方向向量为，假设向量（an，bn）恰为该直线的方向向量，
则有2bn=an，
当n=1时，a1=1，b1=0，向量不符合条件；
当n≥2时，由2bn=an⇒2[log43+（n-2）]=3•4n-2⇒log49=3•4n-2-2n+4，
而此时等式左边的log49不是一个整数，而等式右边的3•4n-2-2n+4是一个整数，故等式不可能成立．
所以，对任意的n∈N*，=不可能是直线l的方向向量．