Question

正方形ABCD的顶点A，C在抛物线y²=4x上，一条对角线BD在直线x+2y-4=0上，求此正方形的边长．

Answer

根据正方形的性质可知AC⊥BD，进而可知AC斜率是2，设直线AC方程为y=2x+b，代入抛物线方程，根据韦达定理表示出x1+x2和x1x2，进而求得y1+y2，则AC的中点坐标可得，代入直线x+2y-4=0中求得b，进而求得x1+x2和x1x2的值，求得（x1-x2）2和（y1-y2）2，从而求得AC的长度，根据AB=求得正方形的边长．
【解析】
∵AC⊥BD
∴AC斜率是2
设直线方程为y=2x+b
代入抛物线方程得4x2+4bx+b2=4x
即4x2+（4b-4）x+b2=0
∴x1+x2=-=1-b
∵y=2x+b
∴y1+y2=2x1+b+2x2+b=2（1-b）+2b=2
∵AC中点（，）在BD上
∴1=-•+2
∴b=-3
代入4x2+（4b-4）x+b2=0
得4x2-16x+9=0
∴x1+x2=4，x1x2=
∴（x1-x2）2=（x1+x2）2-4x1x2=7
（y1-y2）2=[2（x1-x2）]2=28
∴AC==
∴AB==