Question

已知函数f（x）=x³-ax²-a²x+1，g（x）=1-4x-ax²，其中实数a≠0．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若f（x）与g（x）在区间（-a，-a+2）内均为增函数，求a的取值范围．

Answer

（1）先对函数f（x）进行求导，令导函数大于0可求函数的增区间，令导函数小于0可求函数的减区间，注意讨论a的正负．
（2）分别求出函数f（x）与g（x）的单调区间，然后令（-a，-a+2）为二者单调增区间的子集即可．
【解析】
（1）f′（x）=3x2-2ax-a2，
又3x2-2ax-a2=3（x-a）（x+），
令f′（x）=0，得x1=a，x2=-．…（2分）
①若a＞0，则当x＜-或x＞a时，f′（x）＞0，
当-＜x＜a时，f′（x）＜0．
∴f（x）在（-∞，-）和（a，+∞）内是增函数，在（-，a）内是减函数．…（5分）
②若a＜0，则当x＜a或x＞-时，f′（x）＞0，
当a＜x＜-时，f′（x）＜0．
∴f（x）在（-∞，a）和（-，+∞）内是增函数，
在（a，-）内是减函数．…（8分）
（2）当a＞0时，f（x）在（-∞，-）和（a，+∞）内是增函数，g（x）=-a（x+）2+1+，
故g（x）在（-∞，-）内是增函数，
由题意得
解得a≥3．…（11分）
当a＜0时，f（x）在（-∞，a）和（-，+∞）内是增函数，
g（x）在（-，+∞）内是增函数．
由题意得
解得a≤-．…（15分）
综上知实数a的取值范围为（-∞，-]∪[3，+∞）．…（16分）