Question

已知函数f（x）=aln（x+1）+（x+1）²
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）当a＞0时，若对任意x₁x_{2∈（-1，+∞）}，都有f（x₁-f（x₂）|≥3|x₁-x₂|，求a的取值范围、

Answer

根据负数没有对数，得到函数f（x）的定义域，
（1）（i）当a大于等于0时，因为函数aln（x+1）与（x+1）2在x大于等于-1时都为增函数，所以单调f（x）也为增函数；（ii）当a小于0时，求出f（x）的导函数，令导函数等于单调x的值，在函数定义域内由x的值讨论导函数的正负进而得到函数的单调区间，综上，分a大于等于0和a小于0两种情况写出函数的单调区间即可；
（2）设x1小于x2，把所证的式子化简，得到f（x2）-3x2≥f（x1）-3x1，令F（x）=f（x）-3x，进而单调F（x）在x大于-1为增函数，即导函数恒大于等于0，由导函数解出a大于等于一个二次函数，根据x的范围求出二次函数的最大值，即可得到a的取值范围．
【解析】
由题可知f（x）的定义域为（-1，+∞），
（i）当a≥0时，因为函数f（x）1=aln（x+1）和f（x）2=（x+1）2在（-1，+∞）上均为增函数，
故f（x）=aln（x+1）+（x+1）2在（-1，+∞）上均为增函数；
（ii）a＜0时，f′（x）=+2（x+1），
令f′（x）=0，得x1=-1+，x2=-1-（舍），
当x变化时，f′（x）与f（x）的变化情况如下表：

由表可知，f（x）的单调减区间为（0，-1+），f（x）的单调增区间为（-1+，+∞）
综上，当a≥0时，f（x）=aln（x+1）+（x+1）2在（-1，+∞）上均为增函数，
当a＜0时，f（x）的单调减区间为（0，-1+），f（x）的单调增区间为（-1+，+∞）；
（2）不妨设x1＜x2，则所证的式子化为：f（x2）-f（x1）≥3（x2-x1），即f（x2）-3x2≥f（x1）-3x1，
令F（x）=f（x）-3x=aln（x+1）+x2-x+1，则F（x）在（-1，+∞）上为增函数．
即F'（x）=+2x-1≥0在（-1，+∞）上恒成立，因为x＞-1，所以a≥-2x2-x+1在（-1，+∞）上恒成立，
而二次函数-2x2-x+1在（-∞，-）上单调递增，在（-，+∞）上单调递减，
故在（-1，+∞）上的最大值为-2（--（-）+1=，
所以a≥，
故a的取值范围是[，+∞]．