Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，并且满足2S_n=a_n²+n，a_n＞0（n∈N*）．
（Ⅰ）求a₁，a₂，a₃；
（Ⅱ）猜想{a_n}的通项公式，并加以证明；
（Ⅲ）设x＞0，y＞0，且x+y=1，证明：≤．

Answer

（Ⅰ）分别令n=1，2，3，列出方程组，能够求出求a1，a2，a3；
（Ⅱ）证法一：猜想：an=n，由2Sn=an2+n可知，当n≥2时，2Sn-1=an-12+（n-1），所以an2=2an+an-12-1再用数学归纳法进行证明；
证法二：猜想：an=n，直接用数学归纳法进行证明．
（Ⅲ）证法一：要证≤，只要证n（x+y）+2+≤2（n+2），将x+y=1代入，得≤n+2，即要证4xy≤1．由均值不等式知4xy≤1成立，所以原不等式成立．
证法二：由题设知≤，≤，所以（）≤=n+2，由此可导出≤．
证法三：先证≤，然后令a=nx+1，b=ny+1，即得：≤=．
【解析】
（Ⅰ）分别令n=1，2，3，得
∵an＞0，∴a1=1，a2=2，a3=3．（3分）

（Ⅱ）证法一：猜想：an=n，（4分）
由2Sn=an2+n①
可知，当n≥2时，2Sn-1=an-12+（n-1）②
①-②，得2an=an2-an-12+1，即an2=2an+an-12-1．（6分）
1）当n=2时，a22=2a2+12-1，∵a2＞0，∴a2=2；（7分）
2）假设当n=k（k≥2）时，ak=k．那么当n=k+1时，
ak+12=2ak+1+ak2-1=2ak+1+k2-1⇒[ak+1-（k+1）][ak+1+（k-1）]=0，
∵ak+1＞0，k≥2，
∴ak+1+（k-1）＞0，
∴ak+1=k+1．这就是说，当n=k+1时也成立，
∴an=n（n≥2）．显然n=1时，也适合．
故对于n∈N*，均有an=n．（9分）
证法二：猜想：an=n，（4分）
1）当n=1时，a1=1成立；（5分）
2）假设当n=k时，ak=k．（6分）
那么当n=k+1时，2Sk+1=ak+12+k+1．∴2（ak+1+Sk）=ak+12+k+1，
∴ak+12=2ak+1+2Sk-（k+1）=2ak+1+（k2+k）-（k+1）=2ak+1+（k2-1）
（以下同证法一）（9分）

（Ⅲ）证法一：要证≤，
只要证≤2（n+2），（10分）
即n（x+y）+2+≤2（n+2），（11分）
将x+y=1代入，得≤n+2，
即要证4（n2xy+n+1）≤（n+2）2，即4xy≤1．（12分）
∵x＞0，y＞0，且x+y=1，∴≤，
即xy≤，故4xy≤1成立，所以原不等式成立．（14分）
证法二：∵x＞0，y＞0，且x+y=1，∴≤①
当且仅当时取“=”号．（11分）
∴≤②
当且仅当时取“=”号．（12分）
①+②，得（）≤=n+2，
当且仅当时取“=”号．（13分）
∴≤．（14分）
证法三：可先证≤．（10分）
∵，，a+b≥，（11分）
∴2a+2b≥，
∴≥，当且仅当a=b时取等号．（12分）
令a=nx+1，b=ny+1，即得：≤=，
当且仅当nx+1=ny+1即时取等号．（14分）