Question

已知数列{a_n}的n前项和为S_n，且S_n=2a_n-2ⁿ．
（1）求数列{a_n}的通项；
（2）是否存在m，使{a_n-（n+m）2^n-1}是等比数列．

Answer

（1）求数列{an}的通项，可根据题设中的Sn=2an-2n这个递推式进行变形，研究{an+2n-1}的性质，求其通项，再求出数列{an}的通项；
（2）是否存在m，使{an-（n+m）2n-1}是等比数列，可先假设存在，由等比数列性质建立方程求参数的值，若能求出则说明存在，否则说明不存在．
【解析】
（1）由题意an=sn-sn-1=2an-2n-（2an-1-2n-1）⇒an=2an-1+2n-1
∴
故{}是以为首项，以为公差的等差数列
又a1=S1=2a1-21．故a1=2，
∴{}是以1为首项，以为公差的等差数列
所以=1+，
∴an=（n+1）×2n-1，
（2）由（1）知an-（n+m）2n-1=（1-m）×2n-1
当m≠1，an-（n+m）2n-1}是等比数列
故存在实数m≠1，使{an-（n+m）2n-1}是等比数列．