Question

设a＞0，函数f（x）=x²+a|lnx-1|．
（Ⅰ）当a=2时，求函数f（x）的单调增区间；
（Ⅱ）若x∈[1，+∞）时，不等式f（x）≥a恒成立，实数a的取值范围．

Answer

（1）由题意知当0＜x≤e时，，f（x）在（1，e]内单调递增．当x≥e时，恒成立，故f（x）在[e，+∞）内单调递增．由此可知f（x）的单调增区间．
（2）当x≥e时，f（x）=x2+alnx-a，（x≥e），f（x）在[e，+∞）上增函数．当1≤x＜e时，f（x）=x2-alnx+a，（1≤x＜e）由此可求出答案．
【解析】
（1）当a=2时，f（x）=x2+2|lnx-1|
=（2分）
当0＜x≤e时，，
f（x）在（1，e]内单调递增；
当x≥e时，恒成立，
故f（x）在[e，+∞）内单调递增；
∴f（x）的单调增区间为（1，+∞）．（6分）
（2）①当x≥e时，f（x）=x2+alnx-a，
（x≥e）∵a＞0，
∴f′（x）＞0恒成立，∴f（x）在[e，+∞）上增函数．
故当x=e时，ymin=f（e）=e2．（8分）
②当1≤x＜e时，f（x）=x2-alnx+a，
（1≤x＜e）
当，即a≥2e2时，
f′（x）在x∈（1，e）进为负数，
所以f（x）在区间[1，e]上为减函数，
故当x=e时，ymin=f（e）=e2．（14分）
所以函数y=f（x）的最小值为
．
由条件得此时0＜a≤2；
或，
此时2＜a≤2e；或，此时无解．
综上，0＜a≤2e．（16分）