Question

对于定义在R上的函数f（x），可以证明点A（m，n）是f（x）图象的一个对称点的充要条件是f（m-x）+f（m+x）=2n，x∈R．
（1）求函数f（x）=x³+3x²图象的一个对称点；
（2）函数f（x）=ax³+（b-2）x²（a，b∈R）在R上是奇函数，求a，b满足的条件；并讨论在区间[-1，1]上是否存在常数a，使得f（x）≥-x²+4x-2恒成立？
（3）试写出函数y=f（x）的图象关于直线X=M对称的充要条件（不用证明）；利用所学知识，研究函数f（x）=ax³+bx²（a，b∈R）图象的对称性．

Answer

（1）因为点A（m，n）是f（x）图象的一个对称点的充要条件是f（m-x）+f（m+x）=2n，x∈R．可设A（m，n）为f（x）的一个对称点则得到f（m-x）+f（m+x）=2n成立即可解出m和n；
（2）根据函数是奇函数可知f（-x）+f（x）=0得a、b的值；把ab代入的f（x）的解析式让f（x）≥-x2+4x-2推出矛盾即可说明不存在；
（3）函数y=f（x）的图象关于直线X=M对称的充要条件是f（m+x）=f（m-x）；分析函数f（x）=ax3+bx2（a，b∈R）图象的对称性．f（m+x）+f（m-x）=2m可求出对称点的坐标．
【解析】
（1）【解析】
设A（m，n）为函数f（x）=x3+3x2图象的一个对称点，则f（m-x）+f（m+x）=2n，对于x∈R恒成立．即（m-x）3+3（m-x）2+（m+x）3+3（m+x）2=2n对于x∈R恒成立，
∴（6m+6）x2+（2m3+6m2-2n）=0由解得：
故函数f（x）图象的一个对称点为（-1，2）．
（2）①因为函数是奇函数，则由f（-x）=-f（x）得：-ax3+（b-2）x2=-ax3-（b-2）x2，解得a∈R，b=2；
②当a∈R，b=2时f（x）是奇函数．不存在常数a使f（x）≥-x2+4x-2x∈[-1，1]时恒成立．
依题，此时f（x）=ax3令g（x）=-x2+4x-2x∈[-1，1]∴g（x）∈[-7，1]若a=0，f（x）=0，不合题；
若a＞0，f（x）=ax3此时为单调增函数，f（x）min=-a．
若存在a合题，则-a≥1，与a＞0矛盾．
若a＜0，f（x）=ax3此时为单调减函数，
f（x）min=a若存在a合题，则a≥1，与a＜0矛盾．
综上可知，符合条件的a不存在．
（3）函数的图象关于直线x=m对称的充要条件是f（m+x）=f（m-x）
①a=b=0时，f（x）=0（x∈R），其图象关于x轴上任意一点成中心对称；关于平行于y轴的任意一条直线成轴对称图形；
②a=0，b≠0时，f（x）=bx2（x∈R），其图象关于y轴对称图形；
③a≠0，b=0时，f（x）=ax3，其图象关于原点中心对称；
④a≠0，b≠0时，f（x）=ax3+bx2的图象不可能是轴对称图形．
设A（m，n）为函数f（x）=ax3+bx2图象的一个对称点，则f（m-x）+f（m+x）=2n对于x∈R恒成立．即a（m-x）3+b（m-x）2+a（m+x）3+b（m+x）2=2n对于x∈R恒成立，（3am+b）x2+（am3+bm2-n）=0
由，由解得
故函数f（x）图象的一个对称点为（-，）．