Question

设a_n是等差数列，b_n是各项都为正数的等比数列，且a₁=b₁=1，a₂+b₃=a₃+b₂=7．
（1）求a_n，b_n的通项公式；
（2）记c_n=a_n-2010，n∈N*，A_n为数列c_n的前n项和，当n为多少时A_n取得最大值或最小值？
（3）求数列的前n项和S_n．

Answer

（1）先设公差是d，公比是q，根据a1=b1=1，a2+b3=a3+b2=7，列出关于d、q的方程组，解出d、q即可求出求an，bn的通项公式；
（2）当cn≥0，求出n≥1005.5，当cn＞0，n≥1006，进而可知当n=1005时，An取得最小值；
（3）先写出通项公式，然后求出2Sn-Sn，即可求出Sn．
【解析】
（1）设an的公差为d，bn的公比为q，则依题意有q＞0且
解得d=2，q=2．（2分）
所以an=1+（n-1）d=2n-1，bn=qn-1=2n-1．（4分）
（2）因为cn=an-2010=2n-2011≥0⇔n≥1005.5，
所以，当1≤n≤1005时，cn＜0，当n≥1006时，cn＞0．（6分）
所以当n=1005时，An取得最小值．（7分）
（3）．①（9分）②
②-①得==．（12分）