Question

已知数列{a_n}中，S_n是其前n项和，若a₁=1，a₂=2，a_na_n+1a_n+2=a_n+a_n+1+a_n+2且a_n+1a_n+2≠1，则S₂₀₁₁=    ．

Answer

先由递推关系式以及前两项一步步代入，求出数列的前几项可以得出数列{an}是周期为3的一个循环数列，即可求出S2011的值．
【解析】
因为a1=1，a2=2，anan+1an+2=an+an+1+an+2且，
所以有a1a2a3=a1+a2+a3⇒a3=3；
a2•a3•a4=a2+a3+a4⇒a4=1；
a3•a4•a5=a3+a4+a5⇒a5=2；
a4•a5•a6=a4+a5+a6⇒a6=3；
…
故数列{an}是周期为3的一个循环数列．
所以S2011=a1+a2+a3+…+a2011
=670×（a1+a2+a3）+a3×670+1
=670×（1+2+3）+1
=4021．
故答案为：4021．