Question

已知
（1）b=2时，求f（x）的值域；
（2）b≥2时，f（x）＞0恒成立，求b的取值范围．

Answer

（1）当b=2时，，利用双钩函数的单调性即可求得f（x）的值域；
（2））b≥2时，f（x）＞0恒成立，即求函数f（x）的最小值＞0即可，利用基本不等式求最值，一定注意等号成立的条件，因此对b进行讨论，当2≤b＜4时，f（x）最小值为，b≥4时，f（x）在[1，2]上单调递减，f（x）最小值为，从而求得b的取值范围．
【解析】
（1）当b=2时，．
因为f（x）在上单调递减，在上单调递增，
所以f（x）的最小值为．
又因为f（1）=f（2）=0，
所以f（x）的值域为．
（2）（ⅰ）当2≤b＜4时，因为f（x）在上单调递减，在上单调递增，
f（x）最小值为，f（x）＞0，即．
得．
（ⅱ）b≥4时，f（x）在[1，2]上单调递减，f（x）最小值为，f（x）＞0，
即，得b＞2，因此b≥4．
综合（ⅰ）（ⅱ）可知．