Question

设a为非零实数，偶函数f（x）=x²+a|x-m|+1，x∈R．
（1）求实数m的值；
（2）试确定函数f（x）的单调区间（不需证明）；
（3）若函数f（x）在区间（-3，-2）上存在零点，试求实数a的取值范围．

Answer

（1）根据偶函数的定义建立恒等式f（-x）=f（x）在R上恒成立，从而求出m的值即可；
（2）根据函数的解析式，结合二次函数的性质，可分析出的函数的图象与性质，进而得到函数f（x）的单调区间
（3）函数f（x）在区间（-3，-2）上存在零点，根据零点存在定理，可得f（-2）•f（-3）＜0，由此构造关于a的不等式，解不等式即可得到实数a的取值范围．
【解析】
（1）∵f（x）是偶函数，∴f（-x）=f（x）在R上恒成立，
即（-x）2+|-x-m|+1=x2+|x-m|+1，
化简整理，得mx=0在R上恒成立，（3分）
∴m=0．（5分）
（2）由已知，可得f（x）=x2+a|x|+1，
则当a＞0时，递增区间为（0，+∞），递减区间为（-∞，0）
当a＜0时，递增区间为[，0]和[-，+∞）递减区间（-∞，）和（0，）
（3）当a＞0时，在区间（-3，-2）上f（x）＞0恒成立，不满足要求；
当a＜0时，若函数f（x）在（-3，-2）上只有一个零点
则f（-2）•f（-3）＜0
即（5+2a）•（10+3a）＜0
解得：＜a＜